ПОЛЕЗНЫЕ ДЛЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ВАРИАНТЫ РЕАЛИЗАЦИЙ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВПОЛЕЗНЫЕ

ЧК МИФ ------- Чирцов: Курс Многоуровневый Интерактивной Физики для студентов (читается в ИТМО - 2024) Раздел - 5 Квантовая микрофизика Тема - 2. Математический аппарат квантовой механики Лекция -- 1 Состояния и операторы Вопрос - 5. ПОЛЕЗНЫЕ ДЛЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ВАРИАНТЫ РЕАЛИЗАЦИЙ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Длительность: 0 : 49 : 53: Рассматриваются две реализации гильбертового пространства, представляющие несомненный интерес для квантовой механики. Первой реализации является множество векторов-столбцов, состоящих из N или бесконечного количества комплекс назначенных компонент, при этом таких, что сумма квадратов модулей всех компонентов оказывается ограниченной. Операции сложения и умножения на число для таких элементов гильбертового пространства определяется Аналогично операциям сложения и умножения на число трёхмерных векторов, скалярное произведение двух таких векторов определяется как сумма произведений комплексно сопряженного элемента столбца первого и сомножителей на соответствующий элемент столбца со второго. Если такие Столбцы нормировать на единицу, то квадрат модуля каждый из компоненты может трактоваться, как вероятность обнаружение системы в соответствующем номеру элемента столбца состоянии. Роль операторов в такой реализации играют квадратные матрицы размерами N Х N. Второй важный реализации является множество комплекс назначенных функций многих переменных, квадрат модуля которых интегрируем на бесконечном интервале. Определение суммы и произведения таких векторов не представляют труда. Скалярное произведение вводится как интеграл по бесконечному периоду от произведения комплектно-сопряженной первой функции-сомножителя на вторую функцию. При соответствующей нормировке квартираты модулей таких функций могут рассматриваться Как плотности вероятностей. В качестве операторов, действующих на такие функции могут выступать оператор умножения на независимую переменную, оператор дифференцирования по указанной переменной, оператор интегрирования. Показывается что коммутатор операторов дифференцирования по одной из переменных и оператора умножения на неё же отличие от нуля. Для существенного расширения множество операций над так введенными векторами гильбертового пространства вводится понятие интеграла Стильтьеса, как естественное обобщение интеграла Римана.